23 de outubro de 2017

TRIGONOMETRIA

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Trigonometria – Introdução



Estudos relacionados à Trigonometria.

Estudos relacionados à Trigonometria.
Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.

Circunferência Trigonométrica


A circunferência trigonométrica (ciclo trigonométrico) está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com as seguintes definições:
Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.
Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:
Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.
Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.
 –
Primeiro quadrante: 0º < x < 90º
Segundo quadrante: 90º < x < 180º
Terceiro quadrante: 180º < x < 270º
Quarto quadrante: 270º < x < 360º
Os valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2π
Primeiro quadrante: 0 < x < π/2
Segundo quadrante: π/2 < x < π
Terceiro quadrante: π < x < 3π/2
Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2π
É importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construção dos arcos trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. Por exemplo:
O arco de medida π/6 rad ou 30º está localizado no 1º quadrante.
O arco de medida 3π/4 rad ou 135º está localizado no 2º quadrante.
O arco de medida 7π/6 rad ou 210º está localizado no 3º quadrante.
O arco de medida 5π/3 rad ou 300º está localizado no 4º quadrante.
O arco de medida π/3rad ou 60º está localizado no 1º quadrante.

Relação Fundamental da Trigonometria


Uma importante relação existente na Trigonometria foi elaborada por Pitágoras, com base no triângulo retângulo (triângulo com catetos formando um ângulo reto). Veja a relação que ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”:
AB = cateto
AC = cateto
BC = hipotenusa
med(AB)² + med(AC)² = med(BC)² 
No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo cosseno. A determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo Ө, como mostram os esquemas a seguir:

Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras:
sen² Ө + cos² Ө = 1 
Aplicação da relação fundamental
Exemplo 1:
Considerando que , com  , determine cos x.
Exemplo 2:
Considerando que  , com  , determine sen x.

Função trigonométrica do arco duplo e arco metade


Funções trigonométricas do arco duplo

Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:
Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2, portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.
De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β, portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.
Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.
Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja como:
• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:
cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β
Unindo os termos semelhantes teremos:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β
Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:
cos 2β = cos2 β – sen2 β
• Sen 2β
Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:
Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β
Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:
Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β
Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:
Sen 2β = 2 . sen β . cos β
• tg 2β
Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 – tg x . tg β
Unindo os termos semelhantes teremos:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 – tg2β
Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:
tg 2β = 2 tgβ           1 – tg2β

Função trigonométrica do arco metade

Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.
• Cos (x/2).
Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 – cos2β, teremos:
cos 2 β = cos2 β – 1 – cos2 β = 2cos2 β – 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x =2cos2 (x/2) – 1
Isolando cos2 (x/2), teremos:
cos2 (x/2) = cos x + 1
2
Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Sen x/2
Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 – sen2β, teremos:
cos 2 β = 1 – sen2 β – sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)
Isolando sen2 (x/2), teremos:
sen2 (x/2) = 1 – cos x
2
Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Tg (x/2)
Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β
Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)
Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:

Equações Trigonométricas


Equações do tipo  cos x = a

As equações trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas de arcos desconhecidos. A resolução dessas equações consiste num processo único, que utiliza técnicas de redução a equações mais simples. Vamos abordar os conceitos e as definições das equações na forma cosx = a.
As equações trigonométricas na forma cosx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm cossenos iguais, então eles são côngruos ou replementares.
Consideremos x = α uma solução da equação cos x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco – α (ou ao arco 2π – α) . Então: cos x = cos α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 1
Resolver a equação: cos x = √2/2.
Pela tabela de razões trigonométricas temos que √2/2 corresponde ao ângulo de 45º. Então:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dessa forma, a equação cosx = √2/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/4 ou –π/4 ou ainda 2π – π/4 = 7π/4. Observe ilustração:
Concluímos que as possíveis soluções da equação cos x = √2/2 são:
x = π/4 + 2kπ, com k Є Z ou x = – π/4 + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 2
Resolver a equação: cos 3x = cos x
Quando os arcos 3x e x são côngruos:
3x = x + 2kπ
3x – x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Quando os arcos 3x e x são replementares:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
A solução da equação cos 3x = cos x é {x Є R / x = kπ ou x = kπ/2, com k Є Z}.

Equações do tipo sen x = a

As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo
Resolva a equação: sen x = √3/2
Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de 60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)
Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3 ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:

Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z

Equações Trigonométricas

Equações do tipo  cos x = a

As equações trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas de arcos desconhecidos. A resolução dessas equações consiste num processo único, que utiliza técnicas de redução a equações mais simples. Vamos abordar os conceitos e as definições das equações na forma cosx = a.
As equações trigonométricas na forma cosx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm cossenos iguais, então eles são côngruos ou replementares.
Consideremos x = α uma solução da equação cos x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco – α (ou ao arco 2π – α) . Então: cos x = cos α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 1
Resolver a equação: cos x = √2/2.
Pela tabela de razões trigonométricas temos que √2/2 corresponde ao ângulo de 45º. Então:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dessa forma, a equação cosx = √2/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/4 ou –π/4 ou ainda 2π – π/4 = 7π/4. Observe ilustração:
Concluímos que as possíveis soluções da equação cos x = √2/2 são:
x = π/4 + 2kπ, com k Є Z ou x = – π/4 + 2kπ, com k Є Z
Exemplo 2
Resolver a equação: cos 3x = cos x
Quando os arcos 3x e x são côngruos:
3x = x + 2kπ
3x – x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Quando os arcos 3x e x são replementares:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
A solução da equação cos 3x = cos x é {x Є R / x = kπ ou x = kπ/2, com k Є Z}.

Equações do tipo sen x = a

As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo
Resolva a equação: sen x = √3/2
Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de 60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)
Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3 ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:
Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z

Funções Trigonométricas

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.
Características da função seno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = senx
Características da função cosseno
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = cosx
Características da função tangente
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:
 Valores positivos nos quadrantes ímpares.
 Valores negativos nos quadrantes pares.
 Crescente em cada valor.
Gráfico da função tangente

Fórmulas Trigonométricas



Fórmulas Básicas

sen(-x) = -sen x
cos(-x) = cos x
cos2x + sen2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
sen 2x = 2sen x . cos x
cos 2x = cos2x – sen2x
sen2(x/2) = (1-cos x) / 2
cos (x/2) = (1 + cos x) / 2
sec2x = 1 + tg2x
cosses2x = 1 + cotg2x
Fórmulas de Adição e Subtração
sen ( a + b ) = sena . cos b + senb . cosa
sen ( a – b ) = sena . cosb – senb . cosa
cos ( a + b ) = cosa . cosb – sena . senb
cos ( a – b ) = cosa .cosb + sena . senb

Aplicações Trigonométricas na Física 

As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente estão presentes em diversos ramos da Física, auxiliando nos cálculos relacionados à Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessa forma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo único de fornecer conhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas. Veja através de exemplos resolvidos as aplicações da Matemática na Física.

Exemplo 1 – Dinâmica
Fórmula que permite calcular o trabalho da força F no deslocamento d de um corpo:
τ = F * d * cos Ө
Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade √3/3 num percurso de 2m, de acordo com a ilustração, considerando que a superfície seja lisa. Use cosseno 30º = √3/2.
Exemplo 2 – Cinemática: Lançamento Oblíquo
A altura máxima atingida, o tempo de subida e o alcance horizontal são alguns dos elementos que constituem um lançamento oblíquo. De acordo com o ângulo formado entre o lançamento e a superfície o corpo, pode percorrer diferentes trajetórias. Caso a inclinação (ângulo) aumente, o objeto logicamente atinge uma altura mais elevada e um alcance horizontal menor; se o ângulo de inclinação diminui, a altura também diminui e o alcance horizontal se torna maior.
Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 100m/s com uma inclinação de 30º. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal do objeto. Considere g = 10m/s².
Tempo de subida
Altura máxima
Alcance horizontal

Calculadora Científica na Trigonometria



As calculadoras científicas possuem teclas destinadas às funções trigonométricas. Elas calculam os valores das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer ou determinam o ângulo correspondente ao valor trigonométrico.
Existem dois modelos de calculadoras científicas, uma delas apresenta a tecla MODE e a outra a tecla DRG. Demonstraremos o funcionamento da calculadora que possui a tecla MODE.
Existem equipamentos que trabalham com três unidades de medida: grau, radiano e grado. A escolha por uma das medidas é feita apertando a tecla MODE e a tecla da unidade escolhida: DEG (grau), RAD (radiano) ou GRA (grado). Utilizaremos em nossa demonstração a unidade grau, então realizaremos a seguinte operação: aperte MODE e depois DEG.
Dado um ângulo de 35º, para obtermos o valor do seu seno digitamos o valor 35 e em seguida a tecla SIN. Nesse caso aparecerá no visor o número irracional 0,5735764363510460961… . Isso significa dizer que sen35º = 0,573576… , um número irracional, pois é uma dízima não periódica.
Se optarmos pelo cosseno ou pela tangente, teclamos: 35 COS ou 35 TAN, onde teremos cos 35º = 0,819152044288991789684… e tg 35º = 0,70020753820970977945852… . Para realizarmos a operação inversa, isto é, encontrarmos o ângulo correspondente ao valor da razão trigonométrica, digitamos o valor do seno, cosseno ou tangente e apertamos as teclas SHIFT e SIN–1. Observe o exemplo:
Quais os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 9, 12 e 15 centímetros?
senα = 9/15
Tecle em sua calculadora 9 : 15 = SHIFT SIN–1
no visor aparecerá 36,87º
cosβ = 9/15
Tecle 9 : 15 = SHIFT COS–1
no visor aparecerá 53,13º
Então as teclas SIN e SIN–1, determinam as seguintes funções:
SIN fornece o seno, o cosseno ou a tangente de acordo com o valor do ângulo
SIN–1 fornece o ângulo, de acordo com o valor da razão trigonométrica.

Demonstrações Trigonométricas

Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco (ou arco-metade)


Cosseno




Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para  \cos 2a \;\!  a fim de que, dado o cosseno de uma arco  x \;\!  qualquer, possamos obter  \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\!  ou  \tan \frac{x}{2} \;\! . Para isto, consideraremos  2a = x \;\! .

A partir de  \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:

 \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1

    \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

A partir de
 \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!,
temos:
 \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!
    \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}
Finalmente, sabendo que
 \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} ,
temos:
 \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}
   \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Seno

Caso nos seja dado o  \mathrm{sen}\, x \;\!, sabendo que  \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} , calculamos  \cos x \;\! e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular  \mathrm{sen}\, x \;\!,  \cos x \;\! e  \tan x \;\!, conhecida a  \tan \frac{x}{2}.Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

 \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!
 \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}
e consideraremos  2a = x \;\! , de modo que:
       \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

       \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}

       \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

Exemplos

1- Se

 \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} , com  0 < x <\frac{\pi}{2} ,

calcule as funções circulares de   \frac{x}{2} .

Resolução
 \cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}
Logo, temos:
 \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :  \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :
 \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
2-  Se
 \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} ,
determine  \mathrm{sen}\, x \;\!.
Resolução
Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:
 \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}

Soma e subtração de arcos



Adição de arcos

Cosseno da soma

Circulocosseno.png
Considere a figura ao lado. Sejam três pontos  A \;\!,  B \;\! e  C \;\! pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são  A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,  B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\! e  C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!. Os arcos  \widehat{P B}  e  \widehat{C A }  têm medidas iguais, logo as cordas  \overline{P B}  e  \overline{C A} também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:
 d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!
 d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b  \;\!
Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:
      \cos \left ( a + b \right ) = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da soma

Sabemos que  \mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) . A partir disto e sendo  x = a + b \;\!, obtemos:
  •  \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]
Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:
  •  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b
Substituindo  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a  e  \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a  nesta expressão, então:
        \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da soma

Sabendo que  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}  e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para  \tan \left ( a + b \right ) \;\!:
  •  \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}
 = \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}
Então:
     \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot\tan b} 
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi  e  a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} , porque a relação  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}  só é válida se e somente se  x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.

Cotangente da soma

Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} , podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para  \cot \left ( a + b \right ) \;\!:
  •  \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}
 = \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}
Simplificando, temos:
        \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b - 1}{\cot a + \cot b}
Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}  é válida se e somente se  x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!, a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ \;\!:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ \;\!
    • Resolução
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ
 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ   = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ}   = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ}   = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular  \cos \left ( a - b \right ) \;\!, fazemos uso da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:
  •  \cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!
 = \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!  = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!
Então:
     \cos \left ( a - b \right ) = \cos a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:
  •  \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!
Logo,
     \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:
  •  \tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}
Simplificando, temos:
    \tan \left ( a - b \right ) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\cdot\tan b} 
Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi  e  a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .

Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:
  •  \cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}
Logo, obtemos a identidade:
     \cot \left ( a - b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b + 1}{\cot b - \cot a} 
Está fórmula só pode ser aplicada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ \;\!
    • Resolução
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
 \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
 \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ}   = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}
  • Dados  \tan \alpha = 1 \;\! e  \tan \beta = \frac{1}{2} \;\!, calcule  \tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.
    • Resolução
 \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}   = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de  2a, 3a,... \;\!, utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo  2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!,conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos: \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!
Logo, utilizando a identidade trigonométrica, podemos obter duas fórmulas finais:
     \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!
     ou                  
     \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!

 \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!
 = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a  \;\!  = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!
Utilizando a Identidade trigonométrica e trabalhando algebricamente, temos:
     \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!
Expressões para  \cos 4a, \cos 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Utilizando a fórmula do seno da soma:
  •  \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!
Então, temos:
   \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!
  •  \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!
 = \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\!   = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!
Logo:
   \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!
Expressões para  \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:
 \tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!
Logo:
    \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} 
 \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!
Ao subtituimos a fórmula anterior para  \tan 2a \;\! e simplificarmos, obtemos como fórmula final:
   \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\! 
Expressões para  \tan 4a, \tan 5a,... \;\!  são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

Se

 \cot x = \frac{5}{3} \;\!  e  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!,

calcule  \cos 2x \;\!.

Resolução

Precisamos encontrar  \mathrm{sen}\, x \;\! para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade  \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!, que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que  \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!.
Como  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!, o valor da cossecante é positivo.
 \csc x = \sqrt{1 +  \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}
De onde vem
 \mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .
Podemos finalmente calcular:
 \cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .
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